Федотов Валерий Павлович (matholimp) wrote,
Федотов Валерий Павлович
matholimp

Решения задач для 12 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2011 года)

Условия задач см. на http://matholimp.livejournal.com/568242.html .

Задача 1 разобрана на http://matholimp.livejournal.com/609038.html .



Задача 2

Пусть красных точек x, а синих y. Проведено отрезков xy=2011.
Так как 2011 – простое число, то должно быть 2011 точек одного цвета и одна другого. Всего - 2012.
Ответ: 2012.

Задача 3

Обозначим через А сумму нужных чисел, через В − сумму их квадратов, а через С=2011 − сумму их попарных произведений. Известная формула для квадрата суммы превращается в случае большого числа слагаемых в А2=В+2С=В+4022. Отсюда следует, что А>√4022, то есть А≥64.
Проверим, может ли быть А=64. Так как в этом случае А2=4096, то должно быть В=74.
Как набрать разность В−А=10 ? Заметим, что она складывается почленно из неотрицательных разностей 12−1=0 , 22−2=2 , 32−3=6 , 42−4=12 и т.д. Легко видеть, что нельзя использовать даже 4, не говоря о больших слагаемых. Если не учитывать нулевые разности 12−1 , то набрать 10 можно двумя способами: как 6+2+2 или 2+2+2+2+2. Значит, в самой сумме к 3+2+2 или 2+2+2+2+2 нужно добавить недостающее число единиц, чтобы получить А=64. В первом случае нужно добавить 57 единиц, а во втором − 54. Легко убедиться, что для обоих вариантов выполнены все требования условия задачи.
Ответ: 64.

Задача 4

Достаточно проверить самые первые варианты:
1) p=1
q=16∙13+2∙1+1 =19 - простое
2) p=2
q=16∙23+2∙2+1 =133 – составное, 133:7=19
3) p=3
q=16∙33+2∙3+1 =439 – простое
4) p=4
q=16∙43+2∙4+1 =1033 – простое
5) p=5
q=16∙53+2∙5+1 =2011 – простое
6) p=6
q=16∙63+2∙6+1 =3469 – простое


Ответ: годятся пары (1 и 19), (3 и 439), (4 и 1033), (5 и 2011), (6 и 3469) и др.


Задача 5

Легко убедиться, что левая часть уравнения возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного натурального корня. Теперь его легко найти подбором: n=3.
Ответ: n=3.


Задача 6

Весьма существенным является замечание о непрерывности функции f(g(h(x))=sin(π[x]) . Действительно, достаточно наблюдения, что [x] принимает только целые значения k, при подстановке которых sin(πk) обращается в ноль. Отсюда следует, что f(g(h(x))=sin(π[x]) тождественно обращается в ноль. Постоянная функция непрерывна.
Теперь можно построить сколько угодно новых примеров, добавляя в начале формульного выражения знаки любой функции.
Ответ: f(g(h(x)) и все более сложные композиции вида А(f(g(h(x))) , где А – любая из данных функций или даже любая их композиция.
Tags: олимпиада
Subscribe

Buy for 20 tokens
Думаю многие из вас сталкивались с ситуацией, когда приходилось рвать отношения из-за финансов (автор фото: Михаил Нефедов) И самое страшное тут не потерять деньги, а потерять отношения. Но есть достаточно интересный выход из этой ситуации. Ну во-первых всегда работает золотое правило, не…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments