Решения задач для 8 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2012 года)

1. Ответ: 150.
Цвет средней полосы может быть любым – их 6 вариантов. Цвета крайних полос могут быть любыми, кроме цвета средней – по 5 вариантов. Итого 6·5·5=150.

2. Ответ: 359 минут.
В одном блюдце из шести камней по три можно сочетать 20 различных раскладов. Так как блюдец 3, то всего раскладов будет 3х20=60. А в других двух блюдцах для одного набора из трех камней получится 6 раскладов. Значит всего раскладов 6х60=360. Между ними перерывов на обдумывание 359. Ритуал продлится  359 минут.

3. Ответ: 20. 
Если сторону квадрата принять за 1, то периметр многоугольника =28. Так как никакая сторона многоугольника не может быть длиннее диагонали квадрата, то 19 сторон заведомо не хватит. Чтобы построить пример с 20 сторонами, удобно сначала взять треугольник, одна вершина которого расположена вблизи одной из вершин квадрата, а две другие − вблизи противоположной по диагонали вершины квадрата (степень "близости" нужно будет выбрать чуть позднее, чтобы в итоге получить нужное неравенство). 10 вершин многоугольника нужно взять на короткой стороне построенного треугольника, а ещё 9 − на параллельном ей отрезке вблизи вершины.

4.  Ответ: 1987. 
Легко заметить, что 2012−S(2005)=2005. Поэтому решение не может быть больше 2005. Но тогда S(n) не может быть больше 28. Поэтому решение не может быть меньше 1984. Далее перебор (его можно заметно сократить, если найти остаток от деления на 9).

5. Годится любой подходящий пример. "Ожидаемый" пример:  А=3000, В=200.

6.  Годится любой подходящий пример. Например, 
 
5	617	115	175	225	265	295	315	   
80	111	50	120	180	230	942	299	   
145	85	847	55	125	245	235	275	   
200	150	90	40	972	130	190	240	   
244	205	155	987	25	65	135	196	   
281	250	210	160	100	802	70	139	   
445	285	255	215	165	105	35	507	   
612	309	290	260	220	170	110	41