Решения задач для 9 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2012 года)

1. Ответ: только 60. 
Если развернуть сеть рёбер на плоскость (например, центральной проекцией), то подсчёт суммы углов доказывает единственность ответа. Примером может служить правильный икосаэдр. 

2. Годится любой подходящий пример. Например,  
−1988−1989−1990−1991+1992+1993+1994+1995+1996=2012 .

3. Ответ: 20. 
Если сторону квадрата принять за 1, то периметр многоугольника =28. Так как никакая сторона многоугольника не может быть длиннее диагонали квадрата, то 19 сторон заведомо не хватит. Чтобы построить пример с 20 сторонами, удобно сначала взять треугольник, одна вершина которого расположена вблизи одной из вершин квадрата, а две другие − вблизи противоположной по диагонали вершины квадрата (степень "близости" нужно будет выбрать чуть позднее, чтобы в итоге получить нужное неравенство). 10 вершин многоугольника нужно взять на короткой стороне построенного треугольника, а ещё 9 − на параллельном ей отрезке вблизи вершины.

4.  Ответ: 1987. 
Легко заметить, что 2012−S(2005)=2005. Поэтому решение не может быть больше 2005. Но тогда S(n) не может быть больше 28. Поэтому решение не может быть меньше 1984. Далее перебор (его можно заметно сократить, если найти остаток от деления на 9).

5. Годится любой подходящий пример. "Ожидаемый" пример:  А=300, В=5000.  Многие участники нашли другой пример:   А=129, В=383. 

6.  Годится любой подходящий пример. Например, 
 
1	339	329	10	612	49	19	574	79	   
330	2	337	50	11	610	80	20	572	   
338	328	3	611	48	12	573	78	21	   
13	632	26	22	541	109	4	566	99	   
27	14	630	110	23	539	100	5	564	   
631	25	15	540	108	24	565	98	6	   
28	610	34	7	463	199	16	586	69	   
35	29	608	200	8	461	70	17	584	   
609	33	30	462	198	9	585	68	18