Решения задач для 10 класса (олимпиады "Третье тысячелетие" 2012 года)

1. Ответ: только 60. 
Если развернуть сеть рёбер на плоскость (например, центральной проекцией), то подсчёт суммы углов доказывает единственность ответа. Примером может служить правильный икосаэдр. 
2.  Ответ: N=63. 
Сначала нужно заметить, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 62 меньше 2012, а до 63 равна 2016. Поэтому при N=62 или меньше при любой расстановке знаков алгебраическая сумма будет заведомо меньше 2012. А при N=63 нужно поставить минус только перед 2.
3. Ответ: 20. 
Если сторону квадрата принять за 1, то периметр многоугольника =28. Так как никакая сторона многоугольника не может быть длиннее диагонали квадрата, то 19 сторон заведомо не хватит. Чтобы построить пример с 20 сторонами, удобно сначала взять треугольник, одна вершина которого расположена вблизи одной из вершин квадрата, а две другие − вблизи противоположной по диагонали вершины квадрата (степень "близости" нужно будет выбрать чуть позднее, чтобы в итоге получить нужное неравенство). 10 вершин многоугольника нужно взять на короткой стороне построенного треугольника, а ещё 9 − на параллельном ей отрезке вблизи вершины.
4.  В условии недосказано, известно ли грибнику направление просек. Поэтому верных ответов два: 2+√2/8 часа (примерно 2 часа 11 минут) и 1+9√2/8 часа (примерно 2 часа 36 минут).
В худшем для грибника варианте дорогу домой можно разбить на 4 этапа: 1) до просеки, 2) до выхода просеки на внешнее поле (если он неудачно выбрал один из двух вариантов движения по просеке или по внешнему полю), 3) до выхода просеки на центральную поляну, 4) по центральной поляне до дома. Если грибнику известно направление просек, то на первом этапе грибник выберет это направление и в худшем для себя случае выйдет на просеку, пройдя (почти) 1км.  Если грибник не знает, как направлены просеки, то в худшем для него случае он пройдет (почти всю) диагональ какого-то квартала, затратив √2 часа. Затем он тратит 1/2 часа, чтобы пройти квартал (1км) по просеке, либо обойти квартал (2км) по внешнему полю. Затем ещё 1/2 часа, чтобы пройти по просеке от поля до поляны. Наконец, √2/8 часа, чтобы дойти от угла поляны до её центра.
5. Годится любой подходящий пример. «Ожидаемый» пример:  А=500, В=11000.
6.  Годится любой подходящий пример. Например, 
 
31	32	45	58	70	79	86	91	94	1426	   
21	33	46	59	71	80	87	92	1428	95	   
22	34	47	60	72	81	88	1420	93	95	   
23	35	48	61	73	82	1393	89	90	118	   
24	36	49	62	74	1420	83	84	58	122	   
25	37	50	63	1434	75	76	77	78	97	   
26	38	51	1525	64	65	66	67	68	42	   
27	39	1606	52	53	54	55	56	67	3	   
28	1699	40	41	69	43	44	19	16	13	   
1785	29	30	31	32	33	34	17	20	1