Сами задачи - на http://matholimp.livejournal.com/920395.html .
1. Ответ: только 60.
Если развернуть сеть рёбер на плоскость (например, центральной проекцией), то подсчёт суммы углов доказывает единственность ответа. Примером может служить правильный икосаэдр.
2. Ответ: N=63 (объяснение и пример обязательны). Сначала нужно заметить, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 62 меньше 2012, а до 63 равна 2016. Поэтому при N=62 или меньше при любой расстановке знаков алгебраическая сумма будет заведомо меньше 2012. А при N=63 нужно поставить минус только перед 2.
3. Ответ: 14 (объяснение и пример обязательны). Если сторону куба принять за 1, то длина ломаной =24. Так как никакое её звено не может быть длиннее диагонали куба, то 13 сторон заведомо не хватит. Чтобы построить пример с 14 звеньями, достаточно расположить 7 вершин ломаной вблизи одной из вершин куба, а ещё 7 вершин − вблизи противоположной по диагонали вершины куба (степень "близости" нужно выбрать так, чтобы в итоге получить нужное неравенство).
4. В условии недосказано, известно ли грибнику направление просек. Поэтому верных ответов два: 2+√2/8 часа (примерно 2 часа 11 минут) и 1+9√2/8 часа (примерно 2 часа 36 минут).
В худшем для грибника варианте дорогу домой можно разбить на 4 этапа: 1) до просеки, 2) до выхода просеки на внешнее поле (если он неудачно выбрал один из двух вариантов движения по просеке или по внешнему полю), 3) до выхода просеки на центральную поляну, 4) по центральной поляне до дома. Если грибнику известно направление просек, то на первом этапе грибник выберет это направление и в худшем для себя случае выйдет на просеку, пройдя (почти) 1км. Если грибник не знает, как направлены просеки, то в худшем для него случае он пройдет (почти всю) диагональ какого-то квартала, затратив √2 часа. Затем он тратит 1/2 часа, чтобы пройти квартал (1км) по просеке, либо обойти квартал (2км) по внешнему полю. Затем ещё 1/2 часа, чтобы пройти по просеке от поля до поляны. Наконец, √2/8 часа, чтобы дойти от угла поляны до её центра.
5. Годится любой подходящий пример. «Ожидаемый» пример: А=600, В=14000.
6. Годится любой подходящий пример. Например,
155 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 157
150 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 152
181 182 191 151 153 154 156 158 159 160 225 142
183 184 193 146 148 149 192 194 196 198 223 6
185 186 195 124 125 126 127 128 129 131 133 423
187 188 197 202 117 209 210 114 113 112 111 252
189 190 199 203 116 135 211 212 110 109 108 230
141 130 201 204 115 137 213 216 217 218 219 1
143 132 120 121 205 138 214 106 105 104 103 521
145 134 122 119 207 139 107 221 220 222 291 85
147 136 123 118 208 140 215 224 326 313 40 22
206 227 144 293 283 346 24 92 86 90 200 21
Journal information