Решения задач для 11-12 классов (олимпиады "Третье тысячелетие" 2012 года)

1. Ответ: только 60. 
Если развернуть сеть рёбер на плоскость (например, центральной проекцией), то подсчёт суммы углов доказывает единственность ответа. Примером может служить правильный икосаэдр. 

2.  Ответ: N=63 (объяснение и пример обязательны). Сначала нужно заметить, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 62 меньше 2012, а до 63 равна 2016. Поэтому при N=62 или меньше при любой расстановке знаков алгебраическая сумма будет заведомо меньше 2012. А при N=63 нужно поставить минус только перед 2.

3. Ответ: 14 (объяснение и пример обязательны). Если сторону куба принять за 1, то длина ломаной =24. Так как никакое её звено не может быть длиннее диагонали куба, то 13 сторон заведомо не хватит. Чтобы построить пример с 14 звеньями, достаточно расположить 7 вершин ломаной вблизи одной из вершин куба, а ещё 7 вершин − вблизи противоположной по диагонали вершины куба (степень "близости" нужно выбрать так, чтобы в итоге получить нужное неравенство). 

4.  В условии недосказано, известно ли грибнику направление просек. Поэтому верных ответов два: 2+√2/8 часа (примерно 2 часа 11 минут) и 1+9√2/8 часа (примерно 2 часа 36 минут).
В худшем для грибника варианте дорогу домой можно разбить на 4 этапа: 1) до просеки, 2) до выхода просеки на внешнее поле (если он неудачно выбрал один из двух вариантов движения по просеке или по внешнему полю), 3) до выхода просеки на центральную поляну, 4) по центральной поляне до дома. Если грибнику известно направление просек, то на первом этапе грибник выберет это направление и в худшем для себя случае выйдет на просеку, пройдя (почти) 1км.  Если грибник не знает, как направлены просеки, то в худшем для него случае он пройдет (почти всю) диагональ какого-то квартала, затратив √2 часа. Затем он тратит 1/2 часа, чтобы пройти квартал (1км) по просеке, либо обойти квартал (2км) по внешнему полю. Затем ещё 1/2 часа, чтобы пройти по просеке от поля до поляны. Наконец, √2/8 часа, чтобы дойти от угла поляны до её центра.

5. Годится любой подходящий пример. «Ожидаемый» пример:  А=600, В=14000.

6. Годится любой подходящий пример. Например, 
 
155	161	163	165	167	169	171	173	175	177	179	157	   
150	162	164	166	168	170	172	174	176	178	180	152	   
181	182	191	151	153	154	156	158	159	160	225	142	   
183	184	193	146	148	149	192	194	196	198	223	6	   
185	186	195	124	125	126	127	128	129	131	133	423	   
187	188	197	202	117	209	210	114	113	112	111	252	   
189	190	199	203	116	135	211	212	110	109	108	230	   
141	130	201	204	115	137	213	216	217	218	219	1	   
143	132	120	121	205	138	214	106	105	104	103	521	   
145	134	122	119	207	139	107	221	220	222	291	85	   
147	136	123	118	208	140	215	224	326	313	40	22	   
206	227	144	293	283	346	24	92	86	90	200	21