Category: спорт

Category was added automatically. Read all entries about "спорт".

Нечаянный прогноз нечаянно побитого нерекорда

Летом я бываю в дебрях Карельского перешейка почти ежегодно. В студенческие годы зимой много ездил на лыжах. Но весенние месяцы обычно пропускал. Ежегодно ездить в апреле-мае стал только в последние 6 лет, как сын завёл огород.
Разумеется, столь короткое время наблюдений не позволяет говорить ни о солидной статистике, ни о рекордных значениях. Только серия наблюдений. Снег в первых числах мая к юго-западу от Соснова я наблюдал в 1967, 1969, 2011, 2013, 2015, 2016 и 2017 годах. В промежутке между второй и третьей датой если и бывал там в эти месяцы, то не запомнил. Первые две даты относятся к склонам нынешнего курорта Игора, а остальные - в Кольканкульме (на 7км западнее).
В 2013 году даже 17 мая было примерно столько же снега, как на снимке на http://matholimp.livejournal.com/1621193.html . Сделал ту запись безо всякой задней мысли, а она сбылась. Ровно до 17 мая простояла в этом году прохладная не по сезону погода. Снег в тенистых ельниках почти не таял.
Сегодня уже второй день с температурой около +20. Разумеется, теперь таяние снега пойдёт гораздо быстрее. Но сегодня его ещё предостаточно. С крутых склонов южного берега речки Смородинки кое-где ещё можно съехать на лыжах.

promo matholimp november 26, 17:30 55
Buy for 10 tokens
Дистанционное обучение внезапно оказалось в тренде. Поэтому пишут о нём сейчас все, кому не лень, вплоть до вездесущего Онищенко. В итоге громкое большинство минимум в 99% составляют публикации несведущих профанов. А 9 из 10 написанных педагогами статей о дистанционном обучении явно свидетельствуют…

Олимпиада 2016/17 года уже стартовала

Подробности - на http://www.formulo.org/ru/parents/olimp/olimp17 и далее по ссылкам. В частности:
Задачи отборочного этапа на русском языке - http://www.formulo.org/wp-content/uploads/2016/10/FdI-TM-17-1-russian.pdf ,
Положение об Объединённой международной математической олимпиаде «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» в 2016/17 учебном году - http://www.formulo.org/wp-content/uploads/2016/08/REGULATIONS-ON-COMPETITION.pdf ,
Регламент проведения Объединённой международной математической олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» в 2016/17 учебном году - http://www.formulo.org/wp-content/uploads/2016/08/REGULATION-OLYMPIAD.pdf .

Для официального участия в олимпиаде «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» с возможностью получения диплома образца, установленного РСОШ, российским школьникам необходимо в любой день до 18 ноября 2016 г. выполнить следующие шаги.
1. Зарегистрироваться на олимпиадном портале СПбГУ.
Внимание: если работа будет выполняться за более старший класс (например, учащийся 3 класса участвует в олимпиаде за 5 класс), при регистрации нужно указать именно класс, за который выполняется работа («класс участия»).
2. Подготовить файл с решениями задач. Будут приниматься как текстовые файлы (например, в формате txt, doc, odt или pdf), так и сканы бумажных работ. Если при сканировании образовалось несколько файлов, нужно упаковать их в один файл-архив (zip, rar). В файле с решениями задач не должны указываться фамилия, имя и другие личные данные участника!
3. Войти в личный кабинет и подать заявление для участия в олимпиаде «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»; ввести ФИО своего педагога.
4. Пройти по «ссылке для прохождения олимпиады», повторно ввести логин (вида ol…) и пароль, полученные при регистрации на олимпиадном портале.
5. На странице олимпиады кликнуть «Отправить решения», загрузить файл с решениями и нажать кнопку «Сохранить».

Для учащихся, не имеющих возможности зарегистрироваться и подготовить работу в электронном виде, сохраняется возможность участия в альтернативной олимпиаде — 17-й олимпиаде «Третье тысячелетие». Эта олимпиада проводится по тем же задачам, но по упрощенному регламенту, не включающему электронную регистрацию. Участники направляют свою работу организаторам в бумажном виде или по электронной почте; победители и призёры получают дипломы Оргкомитета олимпиады.
К работе должна прилагаться на отдельном листе заполненная Анкета участника 17-й олимпиады «Третье тысячелетие» и Согласие одного из родителей на обработку персональных данных. На самой работе не должны указываться личные данные участника.
Для участия нужно олимпиадную работу, анкету и согласие передать педагогу-организатору в школе или передать (отправить по почте) в региональный/городской оргкомитет не позднее 18 ноября (см. Список оргкомитетов). Участники из регионов, где нет регионального оргкомитета, отправляют свою работу (с анкетой и согласием) в центральный оргкомитет по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Оргкомитет 17-й олимпиады «Третье тысячелетие».
Также есть возможность отправить скан работы, анкету и скан согласия по электронному адресу solv@formulo.org. При этом в теме письма нужно указать, за какой класс выполнена работа.

Школьникам, проживающим за пределами Российской Федерации, следует отправить олимпиадную работу в соответствии с инструкциями, полученными от местных организаторов.
Если Вы узнали об олимпиаде самостоятельно, у Вас есть 2 варианта действий (1-й из них предпочтителен).
1. Отправить работу через олимпиадный портал СПбГУ (см. выше раздел «Информация для школьников из России (официальное участие)»). При этом будет необходимо ввести свои анкетные данные на русском языке.
2. Отправить работу и анкету по электронному адресу solv@formulo.org (бланк анкеты будет опубликован 24 октября).
В любом случае на самой работе не должны указываться личные данные участника. Работа может быть написана на русском, английском, болгарском, грузинском, испанском, немецком, персидском, румынском, узбекском, украинском, французском языке, иврите или эсперанто.

Электронный адрес оргкомитета олимпиады: olimp@formulo.org (не предназначен для отправки работ!)
Телефон: +7 (969) 717–41–93.

Олимпиада «Третье тысячелетие» до и после включения в проект «Формула единства»

Мой секционный доклад на конференции ЦДООШ .

Kраткая аннотация доклада:


История математической олимпиады школьников «Третье тысячелетие» с 2001 по 2016г. Что изменилось с участием в проекте «Формула единства».

Kлючевые слова:


олимпиады школьников по математике, «Третье тысячелетие», «Формула единства».

В конце ХХ века были весьма популярны Соросовские олимпиады школьников по математике, физике, химии и биологии. А я в 1995-2000гг. был куратором проекта «Международный заочный математический кружок» по Санкт-Петербургу. Наравне с выполнением заданий, разработанных мною и коллегами из США, Грузии и Израиля, в рейтинге кружковцев учитывались их результаты в национальных и Соросовских олимпиадах. В 2000г. Сорос внезапно отказался финансировать олимпиады своего имени, после чего их оргкомитет заявил о закрытии проекта. В частности, сорвались второй и третий туры олимпиады 2000/01 учебного года. Почти сразу же я получил море писем от учителей с призывом «Олимпиада нужна нам, а не Соросу». Так как времени на поиск источников финансирования не было, то я предложил на общественных началах провести аналог второго тура. Соросовский оргкомитет дал добро и поделился базой электронных адресов постоянных участников, но настоятельно попросил воздержаться от использования имени Сороса. Дата рождения определила название новой олимпиады: «Третье тысячелетие». В 2001 году в ней участвовали школьники 7-11 классов из России, Беларуси, Грузии, Украины, Казахстана, Израиля, Азербайджана, Молдовы, Узбекистана и США. Задание для каждой параллели сохранило формат второго тура Соросовской олимпиады: оно состояло из 6 задач, полное решение каждой из которых оценивалось в 7 баллов. Отсутствие централизованного финансирования заставило нас отказаться от дорогостоящей обычной почты, вместо которой мы использовали электронную. Поэтому на протяжении ряда лет в названии олимпиады присутствовало слово «дистанционная».

Начиная с 2003г., добавились параллели 5 и 6 классов. Расширилась и география участия: как за счёт новых стран (их стало около 50), так и за счёт «глубинки» ряда регионов России и Беларуси. Олимпиада перестала быть русскоязычной: кураторы на местах переводили задания на языки своих стран и проверяли работы на этих языках. На протяжении последующих десяти лет оценочное число участников держалось на уровне миллиона, что превышало аудиторию Соросовских олимпиад. Так как жёсткой регистрации мы не вели, то достоверно можно говорить лишь о числе зафиксированных в протоколе работ. Оно измерялось десятками тысяч: меньше общего числа участников Соросовских олимпиад, но заметно больше числа их работ с ненулевыми оценками. Переговоры членов жюри с Microsoft, Intel или другими равноценными Соросу потенциальными спонсорами завершались без результата. Только один раз за все годы удалось договориться с фондом Зимина, выделившим книги для награждения победителей. Лишь в единичных случаях (штат Нью-Джерси, Витебская и Камчатская области) и далеко не во все годы удалось обеспечить организацию олимпиады на региональном уровне. Чуть лучше обстояли дела на уровне отдельных школ (но нередко случалось, что спонсор уходил вслед за своим ребёнком, либо олимпиады прекращались после ухода проводившего их учителя или администратора).

Поэтому когда Фонд Эйлера провёл математическую олимпиаду в рамках проекта «Формула единства», я предложил коллегам объединить усилия. Начиная с 2013г., мы проводим олимпиаду в два тура. Первый проводится заочно, а второй – в базовых школах. Так как «Формула единства» вошла в число официальных олимпиад, победы на которых дают преимущества при поступлении в вузы РФ, то нам пришлось регистрировать участников предварительно. Это не могло не привести к резкому сокращению числа участников. С другой стороны, добавились Испания и страны Латинской Америки, вместе с которыми «Формула единства» проводит летние математические лагеря.

Ленинградские (Санкт-Петербургские) математические кружки

Этот доклад на конференции ЦДООШ должен был сделать мой любимый ученик Сергей Евгеньевич Рукшин . К великому сожалению уже в последний момент выяснилось, что сам он приехать в Киров не сможет. Он попросил меня прочесть доклад вместо него, и буквально за час перед моим выездом в аэропорт мы подробно обсудили его содержание.
В принципе, оно было понятно. Кружками и олимпиадами занимаются практически одни и те же люди. А истории Ленинградских математических олимпиад была посвящена наша совместная статья в "Математике в Школе" 1981г. Конечно, что-то происходило и после 1981г., но исторический интерес представляют более давние события.
Первые математические кружки в Ленинграде, о которых сохранились документальные свидетельства, датируются 1933г. Они возникли по инициативе Б.Н.Делоне и проходили в формате школьного факультатива: школьники записывали в тетрадках и сдавали на проверку решения задач повышенной сложности (типа задачника Сканави). В таком виде кружки просуществовали до начала 1960-х годов. Важно выделить военные годы: один из кружков в 1944г. вёл вернувшийся с фронта студент Зенон Боревич (позднее ставший деканом матмеха ЛГУ).
Возникновение специализированных физико-математических школ радикально повлияло на расклад по параллелям и содержание занятий. Резко упала потребность в кружках для старшеклассников, но гораздо более востребованными стали кружки для 7-8 классов, а позднее и для 5-6. Ориентация на вступительные экзамены уступает место нестандартным задачам. Владимир Одинец первым включил в программу кружка разделы высшей математики.
Рукшин утверждает, будто я первым замаскировал элементы высшей математики в серии нестандартных задач. Кроме того, я предложил перенаправить основные усилия с поиска одарённых школьников на обучение всех до уровня олимпиадников. Рукшин первым реализовал это моё предложение. Конечно, "с улицы" в его кружок во Дворце пионеров пришли не самые случайные четвероклассники. Но уже в 8 классе они забрали на городской олимпиаде все дипломы в своей параллели. Кстати, именно в этом кружке занимался Григорий Перельман. Позднее медаль Филдса получил ещё один воспитанник Рукшина - Станислав Смирнов.

Начинаю приводить в порядок этот журнал

Если осилю.
Заглянул в профиль и ужаснулся: я его три года не обновлял. Ладно, теперь пусть ещё подождёт. Возможно, как обещанного...
Обещанное же на http://matholimp.livejournal.com/528817.html прождало уже почти дважды по три года. Сегодня прошёлся по тому списку и почти всё вычистил. Из нескольких сотен так и недождавшихся моей взаимности кофрендов лишь один заметно превзошёл меня по ЖЖшному СК. Ну да, он давно меня отфрендил. А я и не стану навязываться.
Впрочем, много воды утекло. В том же списке была ещё некая Крыса Потупчик, чей журнал чуть позднее прошёл полный цикл. Сначала взлетел на самую вершину рейтинга, но теперь выброшен за ненадобностью. Возможно, сходной (хотя и не столь выразительной) была судьба ещё нескольких десятков, если не сотен. Да, их поезд ушёл. По крайней мере, для меня.
Лишь "олимпиада" оставалась единственным тегом, который я пунктуально ставил ко всем записям, где он полагался. Постараюсь разобраться и с остальными. Опять же не обещаю, сколько лет уйдёт на это.
Во многих старых записях упали картинки по чужим ссылкам. Либо обновлю ссылки, либо удалю сами записи. Да, см. выше.
И ещё раз см. выше.
Всё выше и выше! И ещё раз, выше, выше, выше, о-о-о...!!!

Как баски массово понаехали в столицу Каталонии

Позавчера ещё рано утром жена обратила моё внимание на появление на улицах Барселоны необычных пешеходов в полосатых красно-белых футболках. Когда два таких персонажа наталкивались друг на друга, они громко приветствовали друг друга и сбивались в пару. Пары объединялись в тройки-четвёрки-шестёрки и далее. Уже к полудню по городу ходили многочисленные группы численностью от десятка до сотни, не оставлявшие места для коренных горожан и гостей из дальних стран. Полосатые репетировали фанатские речёвки бильбаосского "Атлетико" и постепенно сдвигались в сторону олимпийского стадиона. Ближе к вечеру понаехавшие фанаты заняли всё пространство в радиусе километра вокруг площади Испании.
Аналогом в России мог бы служить выход в финал кубка страны какого-нибудь ивановского "Текстильщика" против питерского "Зенита". Для болельщиков Барселоны это второразрядное событие. Большинство из них смотрит матч по телевизору или в ближайших к дому кафе. Но жители Бильбао поголовно посчитали своим долгом...
Продолжая аналогию, пытаюсь представить нечто подобное в России. Если бы болельщики того же ивановского "Текстильщика" заполонили Невский или хотя бы Петроградскую Сторону.
К сожалению, из оранжевого роуминга не удаётся вставить картинку в ЖЖ. Поэтому отсылаю к своему же позавчерашнему посту в Мордокниге: https://www.facebook.com/#!/photo.php?fbid=893182617409629&set=a.893182717409619.1073741825.100001536986060&type=1&theater . Да, как и следовало ожидать, победила Барселона (3:1).

Дипломанты олимпиады "Формула Единства" / "Третье тысячелетие" 2014/15 г. по 8 классу

Фамилия, имя Населённый пункт Школа Страна

1 место
Башарин Артём	        Москва	Школа-интернат "Интеллектуал"	Russia
Бердовский Алексей	Новороссийск	МАОУ лицей "МТ"	Russia
Лучинин Сергей	        Киров	КОГО АУ КФМЛ	Russia
Толмачев Александр	Саров	Лицей № 3	Russia
Алкин Эмиль	        Уфа	Лицей №60	Russia
Кравцова Екатерина	Белгород	38 лицей	Russia



2 место
Collapse )

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 11-12 классов

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1412408.html .



1. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
Решение.
Обозначим время, за которое все трое суммарно выкопают траншею, за t (дней). Тогда их суммарная производительность равна 1/t. Производительность пар, согласно условию, равна 1/(t+2), 1/(t+5) и 1/(t+10). Если сложить производительность пар, то получится удвоенная общая производительность (как если бы копали два первых, два вторых и два третьих землекопа): 1/(t+2) + 1/(t+5) + 1/(t+10) = 2/t.
Отсюда t/(t+2) + t/(t+5) + t/(t+10)=2;
вычитая 1 из каждой дроби, получаем равносильное уравнение
1/(t+2) + 1/(t+5) + 1/(t+10)=1.
Угадываем один из корней этого уравнения: t=10. Других положительных корней уравнение иметь не может, поскольку каждая дробь при положительном t убывает.
Таким образом, все трое выроют траншею за 10 дней. Суммарная производительность троих равна 1/10 траншеи в день, а суммарная производительность двух самых быстрых – 1/12 траншеи в день. Производительность самого медленного равна 1/10-1/12=1/60 траншеи в день.
Ответ: за 60 дней. (А два других — за 20 и 30 дней)
Примечание. Условие о целочисленности не используется, но наводит на мысль о подборе корней.

2. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
Решение. Пусть d – основание системы счисления, а р и р+1 − искомые числа. Прежде всего, заметим, что р≤d , иначе запись р(р+1) в этой системе счисления имела бы не менее трёх цифр.
Пусть с и с+1 − искомые цифры. Тогда р(р+1)=сd+с+1 , откуда р2+р−1=с(d+1) .
Сразу напрашивается вариант с=1 с d= р2+р−2. Подходящее d можно подобрать для любого целого р>1 , но р(р+1) всегда будет записываться как 12.
Постараемся найти с>1 . Прежде всего, так как р(р+1) чётно, то р2+р−1 нечётно. Поэтому с не может быть чётным.
Если р(р+1) делится на 3, то р2+р−1 не делится на 3. В противном случае р даёт при делении на 3 остаток 1, а р+1 даёт при делении на 3 остаток 2. В этом случае р(р+1) даёт при делении на 3 остаток 2. Значит, р2+р−1 не делится на 3 ни при каком целом р. Поэтому с тоже не может делиться на 3.
Аналогично можно показать, что с не может делиться на 7.
Из цифр от 0 до 9 остаётся только 5. Она подходит. Кроме 7∙8=56, есть примеры и в других системах счисления. Например, 17∙18=306 записывается как 56 в системе счисления с основанием 60.
Ответ: 12 или 56.


3. Костя выписал на доску 30 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061. Докажите, что в ней содержится не более 20 точных квадратов.
Решение. Смотрим на последнюю цифру. На каждом шаге она увеличивается на 1, но в случае точных квадратов она не может быть равна 2, 3, 7 и 8. Значит, 4 из каждых 10 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061 заведомо не являются точными квадратами. Следовательно, точных квадратов заведомо не может быть больше 18.

4. Вещественные числа x и y таковы, что x4y2+x2+2x3y+6x2y+8≤0 . Докажите, что x≥−1/6.
Решение. Если x≤-1/6, то дискриминант этого квадратного трехчлена относительно y отрицателен. Следовательно, трехчлен принимает только положительные значения.


5. Маша красит клетки белой доски 10х10. Она может покрасить любой вертикальный ряд клеток синей краской или любой горизонтальный ряд красной краской (каждый ряд красят не более одного раза). Если синяя краска ложится поверх красной, получается синяя клетка, а если красная поверх синей, то краски вступают в реакцию и обесцвечиваются, получается белая клетка. Может ли на доске оказаться 33 красных клетки?
Решение. Достаточно заметить, что в любой момент можно так переставить строки и столбцы на доске, чтобы красные клетки образовали прямоугольник. Его площадь была бы равна 33 только в случаях 1х33 или 3х11. Но ни тот, ни другой не помещаются внутри квадрата 10х10.
Ответ: Нет.

6. Можно ли утверждать, что log√a (a+1)+ loga+1(√a) ≥√6 при a>1 ?
Решение. Прежде всего, нужно заметить, что слагаемые – взаимно обратные величины. Поэтому чем дальше они от 1, тем больше их сумма. Если в первом слагаемом заменить а+1 на а, то оно станет равно 2. Следовательно, сумма не может быть меньше, чем 2+0.5, что больше √6 .
Ответ: Да, неравенство верно.

7. Докажите, что количество способов разрезать прямоугольник 200х3 на домино (прямоугольники 1х2) делится на 3.
Решение. Рассмотрим какое-либо разбиение прямоугольника 2Кх3 на доминошки 1х2. Направим по сторонам прямоугольника оси координат. Координатами доминошки считаем координаты её левого нижнего угла. Занумеруем доминошки в порядке возрастания их абсцисс, а при равных абсциссах − в порядке возрастания их ординат.
Составим шифр разбиения в виде числа из 3К цифр, соответствующих доминошкам в порядке их нумерации. Если доминошка повёрнута в направлении оси абсцисс, то в соответствующем ей разряде запишем 1, а в противном случае – 2. Например, при К=1 возможны разбиения с шифрами 111, 122 и 212.
Будем говорить, что разбиение имеет разрез, если прямоугольник распадается на два меньших по целым доминошкам. Разрезы могут быть горизонтальными (в направлении оси абсцисс) или вертикальными. Если разбиение имеет горизонтальный разрез, но не имеет вертикальных, то его шифр имеет вид 1211…112 или 2111…112 (где вместо многоточия стоят только единицы).
Вертикальный разрез появляется после группы цифр любого из этих двух видов, либо после 111 (третий вид). Шифр разбиения распадается на такие группы цифр, отвечающие фрагментам разбиения между разрезами. Поэтому двойки в составе шифра можно сгруппировать в пары, отвечающие фрагментам разбиения между разрезами. Вторая из них («замыкающая» фрагмент) всегда стоит в разряде, номер которого делится на 3. А первая («открывающая» фрагмент) имеет меньший номер, не делящийся на 3.
Итак, задача свелась к подсчёту числа 300-значных шифров нужного вида. Чтобы получить приемлемый шифр, нужно сначала выбрать некоторое множество «замыкающих» разрядов, номера которых делятся на 3, а затем на каждом промежутке между двумя соседними «замыкающими» разрядами выбрать по одному «открывающему», номер которого не делится на 3.
Прежде всего, заметим, что заведомо делится на 3 количество разбиений, в составе которых имеется хотя бы один «короткий» фрагмент, занимающий 3 разряда. Действительно, выберем из коротких фрагментов самый первый; вне зависимости от заполнения остальных фрагментов, для него возможны 3 варианта: 111, 122 и 212.
Также заведомо делится на 3 количество разбиений, в составе которых нет коротких фрагментов, но при этом имеется не менее трёх фрагментов, не все одинаковой длины. Переставляя эти фрагменты, такие разбиения можно сгруппировать в группы, причём количество разбиений в каждой группе будет делиться на три (например, для трёх фрагментов — три или шесть разбиений в каждой группе).
Остались неучтёнными:
* 2 разбиения без вертикальных разрезов;
* 97 способов выбрать один вертикальный разрез на 2 фрагмента, для каждого из которых возможны 2 варианта заполнения; всего их 97∙4=388;
* случай фрагментов равной длины. Длина должна быть кратным 3 делителем 300, не меньше 6 и не больше 100. Так как для каждого фрагмента возможны 2 варианта заполнения, то число таких разбиений складывается из степеней двойки, показатели которых равны числу фрагментов, т.е. служат (некратными 3) дополнительными делителями 300. Легко проверить, что два из них нечётны (значит, нужные степени дадут остаток 2 при делении на 3), а ещё пять чётны (степени дадут остаток 1).
Суммирование последних чисел приводит к нужному выводу.


8. Случайным образом выбираются 3 числа от 1 до N и располагаются в порядке возрастания. С какой вероятностью они образуют арифметическую прогрессию?
Решение. Обозначим (с учётом очерёдности выбора!) первое число через X, второе – через Y, а третье – через Z. Всего имеется N3 равновероятных вариантов (X, Y, Z). Геометрически им соответствуют целочисленные точки куба 1≤ X, Y, Z ≤ N .
Чтобы эти числа образовали арифметическую прогрессию, среднее по величине должно быть равно полусумме двух оставшихся. Рассмотрим, как плоскость X+Y=2Z (отвечающая случаю, когда средним по величине является Z) пересекается с кубом 1≤ X, Y, Z ≤ N . Сечением служит ромб с вершинами (1, 1, 1), (0, N, N/2), (N, N, N) и (0, N/2, N). Если (X, Y, Z) – какая-то точка в этом сечении, то (X, Y, 0) – её проекция на плоскость Z=0 . Поэтому вместо подсчёта точек сечения, все три координаты которых целые числа, достаточно найти число точек квадрата 1≤ X, Y≤ N , для которых X+Y чётно. Это одна точка с X+Y=2, три точки с X+Y=4, пять с X+Y=6 и т.д. Никуда не уйти от рассмотрения двух случаев разной чётности N.
Если N=2K – чётно, то последними перед главной диагональю будут К точек с X+Y=2К (=N), после чего все варианты повторятся в обратном порядке. Суммарное число точек 2К2 .
Если N=2K+1 – нечётно, то к предыдущей сумме добавляются N точек главной диагонали. Суммарное число точек 2К2 +2K+1.
Найденное значение нужно сначала утроить (так как средним по величине может оказаться любое из трёх чисел), а затем из полученного вычесть 2N (так как точки главной диагонали куба X=Y=Z были учтены трижды). Получим 6К2−4К для N=2K и 6К2+2К+1 для N=2K+1. Если использовать квадратные скобки для обозначения целой части числа, то оба случая можно объединить одной формулой [3N2/2]−4[N/2] .

Ответ: вероятность равна ([3N2/2]−4[N/2])/ N3 .


9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
Решение. Начнём с того, что синусы всегда положительны. Косинусы же положительны только для острых углов. Поэтому треугольник А1В1С1 остроугольный. Если треугольник АВС тупоугольный, то наибольшим окажется какой-то из его углов. Не теряя общности считаем, что тупой угол – А. Тогда условие сводится к соотношениям: A= 90°+A1, В= 90°−В1, С= 90°−С1. Вычитаем из первого равенства два других, выделяем в итоговом соотношении суммы углов каждого треугольника и заменяем их на 180°. После упрощений находим А=135° .
Если же оба треугольника остроугольные, то A= 90°−A1 , В= 90°−В1 , С= 90°−С1 , в результате общая сумма шести углов равна 270°, что невозможно.
Ответ: 135° .


10. Пусть d(k) – число делителей натурального числа k, а квадратные скобки означают целую часть вещественного числа. Докажите, что числа и имеют одинаковую чётность.
Решение. Ключевая идея: нечётное число делителей имеют все точные квадраты и только они (если число не является точным квадратом, то его делители естественным образом разбиваются на пары, тогда как у √n нет пары). Поэтому по мере добавления новых слагаемых перемена чётности суммы будет происходить в те же самые моменты, когда целая часть корня увеличится на 1.