Category: спорт

Типа резюме

Федотов Валерий Павлович



Анкетные данные


Родился 26 июля 1951г. в Ленинграде.
Оба родителя — русские (дальние предки происходят из Тургиновской и Елисеевской волостей Тверской губернии), оба — участники войны и ветераны труда, состояли в КПСС с 1940-х годов до 1991г.

Образование


В 1968г. окончил 239 физ.-мат. школу в Ленинграде и стал победителем Х Международной математической олимпиады.
В 1973г. с отличием окончил математико-механический факультет Ленинградского госуниверситета. Специальность — математика. Основная специализация — геометрия. Дополнительная специализация — математическое обеспечение ЭВМ. Специализация по индивидуальному учебному плану (научный руководитель — проф. И.В.Романовский) — исследование операций.
В 1979г. окончил идеологический факультет Университета марксизма-ленинизма при Карельском обкоме КПСС.

Научная квалификация


В 1980г. утверждён в учёной степени кандидата физико-математических наук. Защита прошла годом раньше в Институте математики Сибирского отделения АН СССР. Специальность — геометрия и топология. Научный руководитель — проф. В.А.Залгаллер.
В 1999г. избран член-корреспондентом Международной академии информатизации.
Автор более 180 научных и методических работ, наиболее значимые из которых выставлены на http://orcid.org/0000-0002-6230-7492 . Большинство публикаций относится к математике, информационным технологиям, методологии и методике их преподавания, а также к методам машинного обучения и применению математического моделирования в естественных науках и гуманитарной сфере.

Знание языков


Русский — в совершенстве. Украинский — родной, но без знания орфографии.
Английский — школьный курс + кандидатский минимум. Французский — госэкзамен на матмехе ЛГУ. Испанский изучал факультативно в течение года на филфаке ЛГУ.
В 1972-97гг. был внештатным референтом РЖ «Математика», где опубликовал более трёхсот рефератов на статьи, оригиналы которых были опубликованы на названных выше языках, а также немецком, румынском, польском и др.
В начале 1990-х годов разработал авторскую методику матричного обучения иностранным языкам с целью развития математических и общеинтеллектуальных способностей в раннем возрасте. На базе одной из библиотек в Иванове была организована «Школа иностранных языков», в которой моя методика получила экспериментальное подтверждение.

Педагогический опыт


Первые математические кружки начал вести на общественных началах ещё будучи школьником. В студенческие годы был общественным директором ЮМШ при ЛГУ, секретарём и зам. председателя жюри Ленинградской городской математической олимпиады школьников.
В 1995-2000гг. был куратором проекта «Международный заочный математический кружок» в СПб и России, под который в 1998г. получил грант фонда Сороса.
Лауреат международного конкурса «Дистанционный учитель» 2000г.
В 2001г. инициировал проведение международной математической олимпиады «Третье тысячелетие» в формате 2 тура Соросовских олимпиад, проведение которых прекратилось в 2000г. До 2013г. возглавлял жюри олимпиады «Третье тысячелетие», которая на протяжении ряда лет собирала до миллиона участников из 40-60 стран.
Стаж работы в вузах — более сорока лет. В том числе, на штатных должностях по конкурсу: ИТМО с 2006 по 2017гг., где читал лекции по теории искусственного интеллекта, системному анализу, теории случайных процессов и др., Северо-западный институт печати с 2000 по 2010гг. (информационные технологии, включая интернет), Ивановский госуниверситет с 1985 по 1995гг. и Петрозаводский госуниверситет с 1976 по 1981гг. (общий курс высшей математики и спецкурсы по геометрии) и др.
В числе моих учеников: народный учитель РФ С.Е.Рукшин, сотни докторов наук, бизнесмены, депутаты и пр.

Политический опыт


В годы перестройки входил в состав оргкомитетов по подготовке учредительных съездов ряда неформальных движений общероссийского и союзного уровня. В 1990г. баллотировался в народные депутаты РСФСР по Ивановскому национально-территориальному округу. В 1991г. вошёл в топ-100 политиков СССР и был выдвинут движением «Демократическая Россия» в числе кандидатов на пост губернатора Ивановской области. В 1992-95гг. возглавлял региональное отделение Российского движения демократических реформ (по Ивановской, Владимирской, Костромской и Ярославской областям). В 1993г. баллотировался в ГосДуму РФ по Ивановскому территориальному округу и в составе федерального списка Российского движения демократических реформ (лидер — А.А.Собчак), а в 1995г. — в составе федерального списка «Возрождение отечества» (лидер — Э.Э.Россель).

Журналистский опыт


В годы перестройки регулярно публиковался в газетах Ивановской и соседних областей. Единичные публикации в СМИ общероссийского и союзного уровня.

Опыт программирования


Программировать в машинных кодах начал с 1964г. Ассемблер М-222 изучал в ЛГУ под руководством проф. С.С.Лаврова. В 1970-е годы работал в НТО «Ленсистемотехника» (оптимизация транспортных сетей) и СКБ Аналитического приборостроения АН СССР (распознавание образов в задачах масс-спектрометрии).
В 1987г. занял первое место после призовых на первом и последнем в СССР конкурсе школьных учебников по Основам информатики и вычислительной техники. В качестве утешительного приза Минпрос СССР выделил учебный класс КУВТ «Ямаха», на базе которого в Иванове был создан «Дом компьютерной техники». Фрагменты учебника в 1989г. были опубликованы в журнале «Информатика и образование».
В начале 1990-х годов попытался изложить грамматику русского языка в форме алгоритма на языке Basic-MSX. Законченный фрагмент этой работы — программа «Грамотей». Всего две страницы её кодов служили полной функциональной заменой примерно четверти огромного тома «Грамматического словаря» А.А.Зализняка.
На рубеже тысячелетий вместе со своими учениками опубликовал серию работ, посвящённых информационным системам счисления. Придуманные мною башенные системы счисления позволяют резко расширить диапазон доступных для вычисления чисел, повысить точность вычислений в случаях её критичной потери, создать новые методы шифрования и пр. Недавний прорыв на этом направлении позволяет надеяться на реализацию этой затеи «в железе».
Около 2010г. консультировал группу разработчиков систем видеораспознавания.

Опыт в социальных сетях


Оба моих аккаунта в Живом Журнале долго держались в топ-200 рейтинга. После взлома первого из них «легендарным хакером Хэллом» обучил команду студентов из института печати активным методам защиты информации в интернете и программированию чат-ботов. Позднее провёл эксперимент, в ходе которого около сорока чат-ботов на протяжении многих месяцев входили в топ-3000 рейтинга.
Создатель и модератор сообщества «История и культура Ингерманландии» в Живом Журнале.

promo matholimp november 13, 2017 15:58 49
Buy for 10 tokens
Федотов Валерий Павлович Анкетные данные Родился 26 июля 1951г. в Ленинграде. Оба родителя — русские (дальние предки происходят из Тургиновской и Елисеевской волостей Тверской губернии), оба — участники войны и ветераны труда, состояли в КПСС с 1940-х годов до 1991г. Образование В 1968г.…

Важные ссылки по начавшейся олимпиаде «Формула Единства»/«Третье тысячелетие» по математике

Вся информация на https://www.formulo.org/ru/olymp/2019-math-ru и далее по ссылкам.
Отборочный этап олимпиады «Формула Единства»/«Третье тысячелетие» по математике 2019/20 начался 15 октября и продлится до 12 ноября. Задания на русском языке можно скачать по ссылке https://www.formulo.org/wp-content/uploads/2019/10/fditm_2019-20_1round_ru.pdf . Выставлены также задания на английском и узбекском языках. Работа может быть написана на английском, украинском, грузинском, испанском, немецком, персидском, румынском, русском, казахском, узбекском, французском, тайском, турецком языке или эсперанто. Использование других языков должно быть заранее согласовано с организаторами.
Участники из России должны заполнить анкету на https://www.formulo.org/ru/olimpiady/solutions-fett-math-2019-20. Удобнее сделать это одновременно с отправкой файла работы. В качестве исключения можно отправить свою работу в жюри в бумажном виде. К работе должны прилагаться на отдельных листах заполненная анкета участника и подписанное одним из родителей согласие на обработку персональных данных. На самой работе не должны указываться личные данные участника.

Олимпиада по математике («Формула Единства»)/ «Третье Тысячелетие» стартовала в двадцатый раз

Россиянам важно, что олимпиада включена в перечень РСОШ (снова 2-й уровень). Участвуют ещё десятки стран (наиболее активно: Беларусь, Испания, Уругвай, Бразилия, Израиль, Грузия, Казахстан, Молдова, Нигерия и др.).
Задания отборочного этапа и условия участия можно найти на https://www.formulo.org/ru/olymp/2019-math-ru и далее по ссылкам.

Выставка “Купчино! О!” (Александр Федоров и Афанасий Пуд в Галерее "Свиное рыло")

Открытие выставки - в ближайший вторник 15 октября в 19 часов. Адрес: наб. Фонтанки 5 (вход со двора, 6 этаж). Второй автор - мой давний школьный друг, неоднократный призёр городских олимпиад по математике).

Торжественное открытие Математического Турнира Третьего Тысячелетия

Состоялось сегодня в конференц-зале научно-исследовательского корпуса Политехнического университета. На снимке президент Фонда Эйлера проф. С.В.Востоков перебивает своей репликой выступление проф. А.С.Голованова.
IMG_20190325_144403
(С) Фотография Федотова (matholimp) Валерия Павловича 25 марта 2019 года.
В продолжение https://matholimp.livejournal.com/1751316.html .

Ленинградские (Санкт-Петербургские) математические кружки

Этот доклад на конференции ЦДООШ должен был сделать мой любимый ученик Сергей Евгеньевич Рукшин . К великому сожалению уже в последний момент выяснилось, что сам он приехать в Киров не сможет. Он попросил меня прочесть доклад вместо него, и буквально за час перед моим выездом в аэропорт мы подробно обсудили его содержание.
В принципе, оно было понятно. Кружками и олимпиадами занимаются практически одни и те же люди. А истории Ленинградских математических олимпиад была посвящена наша совместная статья в "Математике в Школе" 1981г. Конечно, что-то происходило и после 1981г., но исторический интерес представляют более давние события.
Первые математические кружки в Ленинграде, о которых сохранились документальные свидетельства, датируются 1933г. Они возникли по инициативе Б.Н.Делоне и проходили в формате школьного факультатива: школьники записывали в тетрадках и сдавали на проверку решения задач повышенной сложности (типа задачника Сканави). В таком виде кружки просуществовали до начала 1960-х годов. Важно выделить военные годы: один из кружков в 1944г. вёл вернувшийся с фронта студент Зенон Боревич (позднее ставший деканом матмеха ЛГУ).
Возникновение специализированных физико-математических школ радикально повлияло на расклад по параллелям и содержание занятий. Резко упала потребность в кружках для старшеклассников, но гораздо более востребованными стали кружки для 7-8 классов, а позднее и для 5-6. Ориентация на вступительные экзамены уступает место нестандартным задачам. Владимир Одинец первым включил в программу кружка разделы высшей математики.
Рукшин утверждает, будто я первым замаскировал элементы высшей математики в серии нестандартных задач. Кроме того, я предложил перенаправить основные усилия с поиска одарённых школьников на обучение всех до уровня олимпиадников. Рукшин первым реализовал это моё предложение. Конечно, "с улицы" в его кружок во Дворце пионеров пришли не самые случайные четвероклассники. Но уже в 8 классе они забрали на городской олимпиаде все дипломы в своей параллели. Кстати, именно в этом кружке занимался Григорий Перельман. Позднее медаль Филдса получил ещё один воспитанник Рукшина - Станислав Смирнов.

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 11-12 классов

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1412408.html .



1. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
Решение.
Обозначим время, за которое все трое суммарно выкопают траншею, за t (дней). Тогда их суммарная производительность равна 1/t. Производительность пар, согласно условию, равна 1/(t+2), 1/(t+5) и 1/(t+10). Если сложить производительность пар, то получится удвоенная общая производительность (как если бы копали два первых, два вторых и два третьих землекопа): 1/(t+2) + 1/(t+5) + 1/(t+10) = 2/t.
Отсюда t/(t+2) + t/(t+5) + t/(t+10)=2;
вычитая 1 из каждой дроби, получаем равносильное уравнение
1/(t+2) + 1/(t+5) + 1/(t+10)=1.
Угадываем один из корней этого уравнения: t=10. Других положительных корней уравнение иметь не может, поскольку каждая дробь при положительном t убывает.
Таким образом, все трое выроют траншею за 10 дней. Суммарная производительность троих равна 1/10 траншеи в день, а суммарная производительность двух самых быстрых – 1/12 траншеи в день. Производительность самого медленного равна 1/10-1/12=1/60 траншеи в день.
Ответ: за 60 дней. (А два других — за 20 и 30 дней)
Примечание. Условие о целочисленности не используется, но наводит на мысль о подборе корней.

2. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
Решение. Пусть d – основание системы счисления, а р и р+1 − искомые числа. Прежде всего, заметим, что р≤d , иначе запись р(р+1) в этой системе счисления имела бы не менее трёх цифр.
Пусть с и с+1 − искомые цифры. Тогда р(р+1)=сd+с+1 , откуда р2+р−1=с(d+1) .
Сразу напрашивается вариант с=1 с d= р2+р−2. Подходящее d можно подобрать для любого целого р>1 , но р(р+1) всегда будет записываться как 12.
Постараемся найти с>1 . Прежде всего, так как р(р+1) чётно, то р2+р−1 нечётно. Поэтому с не может быть чётным.
Если р(р+1) делится на 3, то р2+р−1 не делится на 3. В противном случае р даёт при делении на 3 остаток 1, а р+1 даёт при делении на 3 остаток 2. В этом случае р(р+1) даёт при делении на 3 остаток 2. Значит, р2+р−1 не делится на 3 ни при каком целом р. Поэтому с тоже не может делиться на 3.
Аналогично можно показать, что с не может делиться на 7.
Из цифр от 0 до 9 остаётся только 5. Она подходит. Кроме 7∙8=56, есть примеры и в других системах счисления. Например, 17∙18=306 записывается как 56 в системе счисления с основанием 60.
Ответ: 12 или 56.


3. Костя выписал на доску 30 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061. Докажите, что в ней содержится не более 20 точных квадратов.
Решение. Смотрим на последнюю цифру. На каждом шаге она увеличивается на 1, но в случае точных квадратов она не может быть равна 2, 3, 7 и 8. Значит, 4 из каждых 10 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061 заведомо не являются точными квадратами. Следовательно, точных квадратов заведомо не может быть больше 18.

4. Вещественные числа x и y таковы, что x4y2+x2+2x3y+6x2y+8≤0 . Докажите, что x≥−1/6.
Решение. Если x≤-1/6, то дискриминант этого квадратного трехчлена относительно y отрицателен. Следовательно, трехчлен принимает только положительные значения.


5. Маша красит клетки белой доски 10х10. Она может покрасить любой вертикальный ряд клеток синей краской или любой горизонтальный ряд красной краской (каждый ряд красят не более одного раза). Если синяя краска ложится поверх красной, получается синяя клетка, а если красная поверх синей, то краски вступают в реакцию и обесцвечиваются, получается белая клетка. Может ли на доске оказаться 33 красных клетки?
Решение. Достаточно заметить, что в любой момент можно так переставить строки и столбцы на доске, чтобы красные клетки образовали прямоугольник. Его площадь была бы равна 33 только в случаях 1х33 или 3х11. Но ни тот, ни другой не помещаются внутри квадрата 10х10.
Ответ: Нет.

6. Можно ли утверждать, что log√a (a+1)+ loga+1(√a) ≥√6 при a>1 ?
Решение. Прежде всего, нужно заметить, что слагаемые – взаимно обратные величины. Поэтому чем дальше они от 1, тем больше их сумма. Если в первом слагаемом заменить а+1 на а, то оно станет равно 2. Следовательно, сумма не может быть меньше, чем 2+0.5, что больше √6 .
Ответ: Да, неравенство верно.

7. Докажите, что количество способов разрезать прямоугольник 200х3 на домино (прямоугольники 1х2) делится на 3.
Решение. Рассмотрим какое-либо разбиение прямоугольника 2Кх3 на доминошки 1х2. Направим по сторонам прямоугольника оси координат. Координатами доминошки считаем координаты её левого нижнего угла. Занумеруем доминошки в порядке возрастания их абсцисс, а при равных абсциссах − в порядке возрастания их ординат.
Составим шифр разбиения в виде числа из 3К цифр, соответствующих доминошкам в порядке их нумерации. Если доминошка повёрнута в направлении оси абсцисс, то в соответствующем ей разряде запишем 1, а в противном случае – 2. Например, при К=1 возможны разбиения с шифрами 111, 122 и 212.
Будем говорить, что разбиение имеет разрез, если прямоугольник распадается на два меньших по целым доминошкам. Разрезы могут быть горизонтальными (в направлении оси абсцисс) или вертикальными. Если разбиение имеет горизонтальный разрез, но не имеет вертикальных, то его шифр имеет вид 1211…112 или 2111…112 (где вместо многоточия стоят только единицы).
Вертикальный разрез появляется после группы цифр любого из этих двух видов, либо после 111 (третий вид). Шифр разбиения распадается на такие группы цифр, отвечающие фрагментам разбиения между разрезами. Поэтому двойки в составе шифра можно сгруппировать в пары, отвечающие фрагментам разбиения между разрезами. Вторая из них («замыкающая» фрагмент) всегда стоит в разряде, номер которого делится на 3. А первая («открывающая» фрагмент) имеет меньший номер, не делящийся на 3.
Итак, задача свелась к подсчёту числа 300-значных шифров нужного вида. Чтобы получить приемлемый шифр, нужно сначала выбрать некоторое множество «замыкающих» разрядов, номера которых делятся на 3, а затем на каждом промежутке между двумя соседними «замыкающими» разрядами выбрать по одному «открывающему», номер которого не делится на 3.
Прежде всего, заметим, что заведомо делится на 3 количество разбиений, в составе которых имеется хотя бы один «короткий» фрагмент, занимающий 3 разряда. Действительно, выберем из коротких фрагментов самый первый; вне зависимости от заполнения остальных фрагментов, для него возможны 3 варианта: 111, 122 и 212.
Также заведомо делится на 3 количество разбиений, в составе которых нет коротких фрагментов, но при этом имеется не менее трёх фрагментов, не все одинаковой длины. Переставляя эти фрагменты, такие разбиения можно сгруппировать в группы, причём количество разбиений в каждой группе будет делиться на три (например, для трёх фрагментов — три или шесть разбиений в каждой группе).
Остались неучтёнными:
* 2 разбиения без вертикальных разрезов;
* 97 способов выбрать один вертикальный разрез на 2 фрагмента, для каждого из которых возможны 2 варианта заполнения; всего их 97∙4=388;
* случай фрагментов равной длины. Длина должна быть кратным 3 делителем 300, не меньше 6 и не больше 100. Так как для каждого фрагмента возможны 2 варианта заполнения, то число таких разбиений складывается из степеней двойки, показатели которых равны числу фрагментов, т.е. служат (некратными 3) дополнительными делителями 300. Легко проверить, что два из них нечётны (значит, нужные степени дадут остаток 2 при делении на 3), а ещё пять чётны (степени дадут остаток 1).
Суммирование последних чисел приводит к нужному выводу.


8. Случайным образом выбираются 3 числа от 1 до N и располагаются в порядке возрастания. С какой вероятностью они образуют арифметическую прогрессию?
Решение. Обозначим (с учётом очерёдности выбора!) первое число через X, второе – через Y, а третье – через Z. Всего имеется N3 равновероятных вариантов (X, Y, Z). Геометрически им соответствуют целочисленные точки куба 1≤ X, Y, Z ≤ N .
Чтобы эти числа образовали арифметическую прогрессию, среднее по величине должно быть равно полусумме двух оставшихся. Рассмотрим, как плоскость X+Y=2Z (отвечающая случаю, когда средним по величине является Z) пересекается с кубом 1≤ X, Y, Z ≤ N . Сечением служит ромб с вершинами (1, 1, 1), (0, N, N/2), (N, N, N) и (0, N/2, N). Если (X, Y, Z) – какая-то точка в этом сечении, то (X, Y, 0) – её проекция на плоскость Z=0 . Поэтому вместо подсчёта точек сечения, все три координаты которых целые числа, достаточно найти число точек квадрата 1≤ X, Y≤ N , для которых X+Y чётно. Это одна точка с X+Y=2, три точки с X+Y=4, пять с X+Y=6 и т.д. Никуда не уйти от рассмотрения двух случаев разной чётности N.
Если N=2K – чётно, то последними перед главной диагональю будут К точек с X+Y=2К (=N), после чего все варианты повторятся в обратном порядке. Суммарное число точек 2К2 .
Если N=2K+1 – нечётно, то к предыдущей сумме добавляются N точек главной диагонали. Суммарное число точек 2К2 +2K+1.
Найденное значение нужно сначала утроить (так как средним по величине может оказаться любое из трёх чисел), а затем из полученного вычесть 2N (так как точки главной диагонали куба X=Y=Z были учтены трижды). Получим 6К2−4К для N=2K и 6К2+2К+1 для N=2K+1. Если использовать квадратные скобки для обозначения целой части числа, то оба случая можно объединить одной формулой [3N2/2]−4[N/2] .

Ответ: вероятность равна ([3N2/2]−4[N/2])/ N3 .


9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
Решение. Начнём с того, что синусы всегда положительны. Косинусы же положительны только для острых углов. Поэтому треугольник А1В1С1 остроугольный. Если треугольник АВС тупоугольный, то наибольшим окажется какой-то из его углов. Не теряя общности считаем, что тупой угол – А. Тогда условие сводится к соотношениям: A= 90°+A1, В= 90°−В1, С= 90°−С1. Вычитаем из первого равенства два других, выделяем в итоговом соотношении суммы углов каждого треугольника и заменяем их на 180°. После упрощений находим А=135° .
Если же оба треугольника остроугольные, то A= 90°−A1 , В= 90°−В1 , С= 90°−С1 , в результате общая сумма шести углов равна 270°, что невозможно.
Ответ: 135° .


10. Пусть d(k) – число делителей натурального числа k, а квадратные скобки означают целую часть вещественного числа. Докажите, что числа и имеют одинаковую чётность.
Решение. Ключевая идея: нечётное число делителей имеют все точные квадраты и только они (если число не является точным квадратом, то его делители естественным образом разбиваются на пары, тогда как у √n нет пары). Поэтому по мере добавления новых слагаемых перемена чётности суммы будет происходить в те же самые моменты, когда целая часть корня увеличится на 1.

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 7 класса

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1411359.html .



1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.


2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.

3. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
Решение.
Пример: НОК(40, 40, 20)=40.
Оценка. Все три числа не могут быть равными, поскольку 100 не делится на 3.
Значит, либо они все попарно неравны, либо два равны, а третье отличается.
Случай 1. ac, а значит, он равен хотя бы 2с≥66. Тогда b ≤ c/2, a ≤c/2, откуда 100=a+b+c ≤ c+c/2+c/2, c≥ 50. В этом случае НОК не меньше 50.
Случай 2а. a=b≤ c аналогичен.
Случай 2б. a≤b=c. Как и в пункте 1, можно считать, что c делится на a, поэтому с ≤ a/2, 100 = a+b+c ≤ c/2 + 2c, откуда, c≥40, то есть НОК ≥40.
Ответ: 40.


4. Докажите, при любой расстановке чисел 1, 2, …, 10 по кругу найдутся три соседних числа с суммой не менее 18.
Решение. Рассмотрим все числа, кроме 1. Очевидно, их можно разбить на три тройки.
В то же время сумма этих девяти чисел равна 2+3+...+10=54, поэтому хотя бы в одной
из троек сумма не меньше 18.


5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.

6. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 11, заканчивается на 11 и делится на 7. Объясните, почему это число является наименьшим из удовлетворяющих условию.
Ответ: 11011.
Решение. Достаточно забраковать все меньшие натуральные числа: 11, 111, 1111.

Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 6 класса

Условия – на http://matholimp.livejournal.com/1411146.html .



1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.


2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.


3. Саша зачеркнул на 25-й странице учебника все слова, в которых нет буквы А, потом он зачеркнул все слова, в которых нет буквы Б, а потом он нашел все слова, где есть и буква О, и буква А, и тоже зачеркнул их. Костя на той же странице своего учебника зачеркнул слова, где нет Б, но есть А или О (возможно, обе сразу), и после этого он зачеркнул все слова, где нет ни буквы А, ни буквы О. Могло ли у Саши остаться незачеркнутыми больше слов, чем у Кости?
Решение. Достаточно показать на кругах Эйлера. У Кости незачеркнутыми останутся все слова, в которых есть буквы А и Б. А у Саши – только те из этих слов, в которых нет буквы О.
Ответ: Нет.


4. В каждом из двух классов по 30 учеников. Мальчиков в первом классе в 2 раза больше, чем во втором, а девочек – в 3 раза меньше, чем во втором. Сколько мальчиков и девочек в каждом классе?
Решение. Исходя из условия, можно составить уравнения:
Для 1 класса: M∙2+D=30 ,
Для 2 класса: M+D∙3=30 , где M – количество мальчиков во 2 классе, а D – количество девочек в 1 классе.
Перепишем 2 полученных уравнения:
M∙2+D=30,
M+D∙3=30
Из 1-го уравнения получаем:
D=30- M∙2
Из 2-го получаем:
M=30- D∙3=30-(30-M∙2)∙3=30-(30∙3-M∙2∙3)=30-90+M∙6
M=M∙6-60
60=5M
M=12
Тогда D=30-12∙2=6
Итого:
В 1 классе – 6 девочек и 24 мальчика
Во 2 классе – 12 мальчиков и 18 девочек.
Ответ: В 1 классе – 6 девочек и 24 мальчика. Во 2 классе – 12 мальчиков и 18 девочек.


5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.

6. Первоначально на доске написано число 1. Разрешается любое написанное на доске число умножить на 2 или переставить в нём цифры. Можно ли таким образом получить 209?
Решение. Эту задачу удобно решать с конца:
209 – 920 – 460 – 230 – 320 – 160 – 610 – 305 – 530 – 265 – 256 – 128 – 64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1.
Ответ: можно.

Задачи олимпиады "Третье тысячелетие" для 11-12 классов

1. Каждый из трех землекопов, работая в одиночку, может вырыть траншею за целое число дней. А если ту же траншею они будут рыть все втроем, на это у них уйдет соответственно на 2, 5 и 10 дней меньше, чем при рытье вдвоем (т.е. без первого, второго и третьего соответственно). За сколько дней может выкопать яму самый медленный из них?
2. Андрей перемножил два последовательных натуральных числа и получил в некоторой системе счисления двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами, не превосходящими 9. Найдите эти цифры.
3. Костя выписал на доску 30 последовательных членов арифметической прогрессии с разностью 2061. Докажите, что в ней содержится не более 20 точных квадратов.
4. Вещественные числа x и y таковы, что x4y2+x2+2x3y+6x2y+8≤0 . Докажите, что x≥−1/6.
5. Маша красит клетки белой доски 10х10. Она может покрасить любой вертикальный ряд клеток синей краской или любой горизонтальный ряд красной краской (каждый ряд красят не более одного раза). Если синяя краска ложится поверх красной, получается синяя клетка, а если красная поверх синей, то краски вступают в реакцию и обесцвечиваются, получается белая клетка. Может ли на доске оказаться 33 красных клетки?
6. Можно ли утверждать, что log{√{a}}(a+1)+ log{a+1}(√{a}) ≥√6 при a>1 ?
7. Докажите, что количество способов разрезать прямоугольник 200х3 на домино (прямоугольники 1х2) делится на 3.
8. Случайным образом выбираются 3 числа от 1 до N и располагаются в порядке возрастания. С какой вероятностью они образуют арифметическую прогрессию?
9. Треугольники АВС и А1В1С1 таковы, что sin A = cos A1 , sin B = cos B1 , sin C=cosC1 . Найдите наибольший из шести углов.
10. Пусть d(k) – число делителей натурального числа k, а квадратные скобки означают целую часть вещественного числа. Докажите, что числа d(1)+d(2)+...+d(n) и целая часть √n имеют одинаковую чётность.

В продолжение http://matholimp.livejournal.com/1410692.html , http://matholimp.livejournal.com/1412298.html , http://matholimp.livejournal.com/1411867.html , http://matholimp.livejournal.com/1411835.html , http://matholimp.livejournal.com/1411359.html , http://matholimp.livejournal.com/1411146.html и http://matholimp.livejournal.com/1410957.html .
Более подробная информация - на http://www.formulo.org/ru/olimpiada .